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一、利用曲線方程中變量的范圍構(gòu)造不等式

曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)往往有一定的變化范圍,如橢圓 x2a2 + y2b2 = 1上的點(diǎn)P(x,y)滿足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用這些范圍來(lái)構(gòu)造不等式求解,另外,也常出現(xiàn)題中有多個(gè)變量,變量之間有一定的關(guān)系,往往需要將要求的參數(shù)去表示已知的變量或建立起適當(dāng)?shù)牟坏仁?再來(lái)求解.這是解決變量取值范圍常見的策略和方法.

例1 已知橢圓 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是橢圓上的兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(x0 , 0)

求證:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

分析:先求線段AB的垂直平分線方程,求出x0與A,B橫坐標(biāo)的關(guān)系,再利用橢圓上的點(diǎn)A,B滿足的范圍求解.

解: 設(shè)A,B坐標(biāo)分別為(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入橢圓方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1

又∵線段AB的垂直平分線方程為

y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )

令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2

又∵A,B是橢圓x2a2 + y2b2 = 1 上的點(diǎn)

∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a

∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

例2 如圖,已知△OFQ的面積為S,且OF•FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF與FQ的夾角θ的取值范圍.

分析:須通過題中條件建立夾角θ與變量S的關(guān)系,利用S的范圍解題.

解: 依題意有

∴tanθ=2S

∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4

又∵0≤θ≤π

∴π4 <θ< p>

例3對(duì)于拋物線y2=4x上任一點(diǎn)Q,點(diǎn)P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|,則a的取值范圍是 ( )

A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>

分析:直接設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo),利用題中不等式|PQ|≥|a| 求解.

解: 設(shè)Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a

得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0

∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立

又∵ y02≥0

而 2+ y028 最小值為2 ∴a≤2 選( B )

二、利用判別式構(gòu)造不等式

在解析幾何中,直線與曲線之間的位置關(guān)系,可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解的問題,因此可利用判別式來(lái)構(gòu)造不等式求解.

例4設(shè)拋物線y2 = 8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過點(diǎn)Q的直線L與拋物線有公共點(diǎn),則直線L的斜率取值范圍是 ( )

A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4]

分析:由于直線l與拋物線有公共點(diǎn),等價(jià)于一元二次方程有解,則判別式△≥0

解:依題意知Q坐標(biāo)為(-2,0) , 則直線L的方程為y = k(x+2)

由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0

∵直線L與拋物線有公共點(diǎn)

∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故選 (C)

例5 直線L: y = kx+1與雙曲線C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析:利用直線方程和雙曲線方程得到x的一元二次方程,由于直線與右支交于不同兩點(diǎn),則△>0,同時(shí),還需考慮右支上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍來(lái)建立關(guān)于k的不等式.

解：由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0

∵直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，則

解得 -2<-2< p>

三、利用點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系構(gòu)造不等式

曲線把坐標(biāo)平面分成三個(gè)區(qū)域，若點(diǎn)P(x0,y0)與曲線方程f(x,y)=0關(guān)系：若P在曲線上，則f(x0,y0)=0;若P在曲線內(nèi)，則f(x0,y0)<0;若P在曲線外，則f(x0,y0)>0;可見，平面內(nèi)曲線與點(diǎn)均滿足一定的關(guān)系。故可用這些關(guān)系來(lái)構(gòu)造不等式解題.

例6已知橢圓2x2 + y2 = a2 (a>0)與連結(jié)兩點(diǎn)A(1,2)、B(2,3)的線段沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析:結(jié)合點(diǎn)A,B及橢圓位置,可得當(dāng)AB兩點(diǎn)同時(shí)在橢圓內(nèi)或同時(shí)在橢圓外時(shí)符合條件.

解：依題意可知，當(dāng)A、B同時(shí)在橢圓內(nèi)或橢圓外時(shí)滿足條件。

當(dāng)A、B同時(shí)在橢圓內(nèi)，則

解得a >17

當(dāng)A、B同時(shí)在橢圓外，則

解得0<6< p>

綜上所述，解得0<6 或a>17

例7若拋物線y2=4mx (m≠0)的焦點(diǎn)在圓(x-2m)2+(y-1)2=4的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析:由于焦點(diǎn)(m,0)在圓內(nèi)部,則把(m,0)代入可得.

解：∵拋物線的焦點(diǎn)F(m,0)在圓的內(nèi)部，

∴(m-2m)2+(0-1)2<4 即m2<3

又∵m≠0

∴-3 <0或0<3< p>

四、利用三角函數(shù)的有界性構(gòu)造不等式

曲線的參數(shù)方程與三角函數(shù)有關(guān)，因而可利用把曲線方程轉(zhuǎn)化為含有三角函數(shù)的方程，后利用三角函數(shù)的有界性構(gòu)造不等式求解。

例8 若橢圓x2+4(y-a)2 = 4與拋物線x2=2y有公共點(diǎn),

求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析: 利用橢圓的參數(shù)方程及拋物線方程,得到實(shí)數(shù)a與參數(shù)θ的關(guān)系,再利用三角函數(shù)的有界性確定a的取值情況.

解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))

代入x2=2y 得

4cos2θ= 2(a+sinθ)

∴a = 2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+ 14 )2+ 178

又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178

例9 已知圓C：x2 +(y-1)2= 1上的點(diǎn)P(m,n)，使得不等式m+n+c≥0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍

分析:把圓方程變?yōu)閰?shù)方程,利用三角函數(shù)的有界性,確定m+n的取值情況,再確定c的取值范圍.

解：∵點(diǎn)P在圓上，∴m = cosβ,n = 1+sinβ(β為參數(shù))

∵m+n = cosβ+1+sinβ = 2 sin(β+ π4 )+1

∴m+n最小值為1-2 ，

∴-(m+n)最大值為2 -1

又∵要使得不等式c≥-(m+n) 恒成立

∴c≥2 -1

五、利用離心率構(gòu)造不等式

我們知道，橢圓離心率e∈(0,1)，拋物線離心率e = 1，雙曲線離心率e>1，因而可利用這些特點(diǎn)來(lái)構(gòu)造相關(guān)不等式求解.

例10已知雙曲線x2-3y2 = 3的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為L(zhǎng)，直線y=kx+3通過以F為焦點(diǎn),L為相應(yīng)準(zhǔn)線的橢圓中心，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析:由于橢圓中心不在原點(diǎn),故先設(shè)橢圓中心,再找出橢圓中各量的關(guān)系,再利用橢圓離心率0<1,建立相關(guān)不等式關(guān)系求解.< p>

解：依題意得F的坐標(biāo)為(2,0)，L:x = 32

設(shè)橢圓中心為(m,0)，則 m-2 =c和 m-32 = a2c

兩式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2

∵0<1，∴0<1,解得m>2，

又∵當(dāng)橢圓中心(m,0)在直線y=kx+3上，

∴0 = km+3 ,即m = - 3k ,

∴- 3k >2，解得-32 <0< p>

上面是處理解析幾何中求參數(shù)取值范圍問題的幾種思路和求法，希望通過以上的介紹，能讓同學(xué)們了解這類問題的常用求法，并能認(rèn)真體會(huì)、理解掌握，在以后的學(xué)習(xí)過程中能夠靈活運(yùn)用。