對(duì)于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的較值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的值,可得到函數(shù)y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。
點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。
解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。
當(dāng)x=-1時(shí)，z=-5;當(dāng)x=3/2時(shí)，z=15/4。
∴函數(shù)z的值域?yàn)閧z∣-5≤z≤15/4｝。
點(diǎn)評(píng)：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值。對(duì)開區(qū)間，若存在值，也可通過求出值而獲得函數(shù)的值域。
練習(xí)：若√x為實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域?yàn)?)
A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)
(答案：D)。
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